Le problème de Monty Hall est un casse-tête probabiliste librement inspiré du jeu télévisé américain Let's Make a Deal. Il est simple dans son énoncé mais non intuitif dans sa résolution et c'est pourquoi on parle parfois à son sujet de paradoxe de Monty Hall. Il porte le nom de celui qui a présenté ce jeu aux États-Unis pendant treize ans, Monty Hall.

Énoncé

Le jeu oppose un présentateur à un candidat (le joueur). Ce joueur est placé devant trois portes fermées. Derrière l'une d'elles se trouve une voiture (ou tout autre prix magnifique) et derrière chacune des deux autres se trouve une chèvre (ou tout autre prix sans importance). Il doit tout d'abord désigner une porte. Puis le présentateur ouvre une porte qui n'est ni celle choisie par le candidat, ni celle cachant la voiture (le présentateur sait quelle est la bonne porte dès le début). Le candidat a alors le droit ou bien d'ouvrir la porte qu'il a choisie initialement, ou bien d'ouvrir la troisième porte.

Les données de base du problème de Monty Hall : Soient trois portes cachant soit une chèvre soit une superbe voiture, l'automobile étant derrière une seule porte et deux chèvres se cachant derrière les deux autres portes.

Les questions qui se posent au candidat sont :

1. - Que doit-il faire ?
2. - Quelles sont ses chances de gagner la voiture en agissant au mieux ?

Historique et évolution de l'énoncé du problème

Ci-dessous est reproduite la traduction d'un énoncé célèbre du problème, issu d'une lettre que Craig F. Whitaker avait fait paraître dans la rubrique Ask Marylin de Marilyn vos Savant du Parade Magazine en septembre 1990 :

 

« Supposez que vous êtes sur le plateau d'un jeu télévisé, face à trois portes et que vous devez choisir d'en ouvrir une seule, en sachant que derrière l'une d'elles se trouve une voiture et derrière les deux autres des chèvres. Vous choisissez une porte, disons la numéro 1, et le présentateur, qui lui sait ce qu'il y a derrière chaque porte, ouvre une autre porte, disons la numéro 3, porte qui une fois ouverte découvre une chèvre. Il vous demande alors : « désirez-vous ouvrir la porte numéro 2 ? ». À votre avis, est-ce à votre avantage de changer de choix et d'ouvrir la porte 2 plutôt que la porte 1 initialement choisie ? »

La publication de cet article dans le Parade Magazine a eu un impact immédiat sur le lectorat et a engendré de très nombreuses discussions parmi les mathématiciens, célèbres ou non, et les amateurs anonymes. Marilyn vos Savant, réputée pour figurer au Guinness Book of Records comme étant la personne au quotient intellectuel le plus élevé au monde (QI de 228), a ainsi reçu plus de 10 000 lettres (estimation faite par elle-même) traitant du problème, dont plusieurs provenant d'universitaires remettant en question la pertinence de la démonstration reproduite dans sa rubrique. En 1991, pour une édition dominicale, la une du New York Times ouvre sur ce sujet. Jerry Pournelle, célèbre chroniqueur du Chaos Manor de Byte, a également discuté le problème longuement en tant qu'adversaire de la solution de Marilyn, pour se ranger finalement de son côté. Enfin, une discussion controversée a eu lieu à propos de l'article du Parade Magazine dans la rubrique The Straight Dope tenue par Cecil Adams dans l'hebdomadaire The Chicago Reader.

La pertinence des résultats statistiques était parfois contestée, mais ce qui posait le plus souvent problème était que l'article n'insistait pas sur les « contraintes » du présentateur. Les résultats donnés impliquaient nécessairement les postulats suivants :

• Que le présentateur ne peut ouvrir la porte choisie par le candidat.
• Que le présentateur donne systématiquement la possibilité au candidat de revenir sur son choix initial.

Or, comme ces éléments n'étaient pas mis en avant dans l'énoncé du problème, et ce même s'ils étaient implicites, d'autres résultats statistiques que ceux donnés dans l'article devenaient possibles. Rien n'indiquant que l'énoncé de départ doive nécessairement inclure ces postulats, on devrait pouvoir généraliser le problème à d'autres cas.

Finalement, en considérant que ces postulats étaient une condition sine qua non de l'énoncé du problème, il s'est avéré que les résultats de l'article étaient effectivement justifiés.

Cependant il manquait au moins un élément de taille : la question de savoir si le candidat devait ou non changer sa décision initiale pour avoir plus de chances de gagner la voiture n'avait de sens que si l'énoncé précisait bien que le présentateur savait précisément ce qui se cachait derrière chaque porte, élément justement omis dans l'article du Parade Magazine. Si le présentateur ne le savait pas, alors la question aurait été dénuée de sens.

Cela dit, cet énoncé ne fait que s'inscrire dans la lignée de ceux consacrés à ce type de paradoxe.

En effet, une des premières apparitions de ce problème date de 1898 dans Probabilités de Calcul de Joseph Bertrand où il est décrit comme le paradoxe de la boîte de Bertrand.

Un énoncé actuel exempt d'ambiguïté

Il est donc préférable de se baser sur un énoncé non équivoque du problème, incluant donc expressément les contraintes du présentateur, décrit par Mueser et Granberg comme suit :

• Derrière chacune des trois portes se trouve soit une chèvre, soit une voiture, mais une seule porte donne sur une voiture alors que deux portes donnent sur une chèvre. La porte cachant la voiture a été choisie par tirage au sort.
• Le joueur choisit une des portes, sans que toutefois ce qui se cache derrière (chèvre ou voiture) ne soit révélé à ce stade.
• Le présentateur sait ce qu'il y a derrière chaque porte.
• Le présentateur doit ouvrir l'une des deux portes restantes et doit proposer au candidat la possibilité de changer de choix quant à la porte à ouvrir définitivement.
• Le présentateur ouvrira toujours une porte derrière laquelle se cache une chèvre, en effet :
  • Si le joueur choisit une porte derrière laquelle se trouve une chèvre, le présentateur ouvrira l'autre porte où il sait que se trouve également une chèvre.
  • Et si le joueur choisit la porte cachant la voiture, le présentateur choisit au hasard parmi les deux portes cachant une chèvre. (on peut supposer qu'un tirage au sort avant l'émission a décidé si ce serait la plus à droite ou à gauche)
• Le présentateur doit offrir la possibilité au candidat de rester sur son choix initial ou bien de revenir dessus et d'ouvrir la porte qui n'a été choisie ni par lui-même, ni par le candidat.

La question qui se pose alors est :

• Le joueur augmente-t-il ses chances de gagner la voiture en changeant son choix initial ?

Ou formulé autrement, cela revient à dire :

• Est-ce que la probabilité de gagner en changeant de porte est plus grande que la probabilité de gagner sans changer de porte ?

Ou encore :

• Quelle est la meilleure stratégie : Faire un nouveau choix ou rester avec le choix initial ? Les chances de gain vont-elles augmenter, diminuer ou bien resteront-elles les mêmes ?

Clés pour comprendre le problème

Raisonnement par la probabilité que le présentateur apporte de l'information

Prenons le cas d’un candidat qui suit toujours la même stratégie à chaque jeu, celle de maintenir systématiquement son premier choix. Ce candidat aura donc 1 chance sur 3 de gagner la voiture. En moyenne, il gagnera donc une fois sur trois et perdra forcement 2 fois sur 3, exactement comme si le présentateur n'ouvrait pas de porte.

Au contraire, un candidat qui suit la stratégie inverse, changer systématiquement son premier choix, gagnera en moyenne 2 fois sur 3, en effet, lorsque le présentateur ouvre une porte deux cas de figure sont possibles:

• Soit le candidat avait choisi la voiture (1 chance sur 3) et le présentateur ouvre n'importe quelle porte, n'apportant pas d'information,
• Soit le candidat avait choisi une chèvre (2 chances sur 3) et le présentateur ouvre la porte de la seule chèvre restante, désignant de fait la porte restante comme celle cachant la voiture.

Donc faire confiance au présentateur en changeant son choix apporte 2 chances sur 3 de gagner.

On note au passage que le présentateur n'a absolument aucune liberté dans le fait d'apporter de l'information ou non, donc que sa volonté d'aider ou de nuire n'a aucun effet.

Raisonnement par les probabilités complémentaires

Lorsque le candidat choisi une porte, il y a 1 chance sur 3 que ce soit celle de la voiture, et 2 chances sur 3 qu'il y ait une chèvre derrière. Ces probabilités sont des probabilités a priori et ne changeront donc jamais pendant toute la durée du jeu. Lorsque le présentateur fait sortir une chèvre, la probabilité d'avoir une chèvre derrière la porte choisie est toujours de 2/3, et donc la probabilité que la voiture soit derrière la porte restante est également de 2/3. D'où l'intérêt pour le candidat de choisir la porte restante et de changer son choix.

Diagramme servant à faciliter l'explication.

Source : Wikipédia - Problème de Monty Hall [Fr]

Voir aussi : Le paradoxe des (trois) prisonniers

Greta oto est un papillon de la famille des nymphalidés qui fait partie des papillons qui ont la propriété d'avoir des ailes transparentes. Son envergure est de 5,6 à 6,1 cm.

On retrouve ces papillons du Mexique au Panama. Greta oto butine des fleurs communes comme le lantana, mais préfère pondre ses œufs sur les plantes tropicales toxiques tels que les Cestrum nocturnum. Les chenilles qui sont rouges et violettes à rayures, se nourrissent de ces toxines et stockent les alcaloïdes végétaux dans leurs tissus. Elles deviennent ainsi à leur tour toxiques (ou au moins désagréables) pour leurs prédateurs naturels tels que les oiseaux. Cette toxicité acquise à l'état larvaire perdure chez le papillon adulte. Les mêmes alcaloïdes végétaux (et toxiques) sont convertis en phéromones par les mâles pour attirer les femelles.

Adultes, les Greta oto affichent également un certain nombre de comportements intéressants, parmi lesquels on notera la constitution d'une aire de parade chez les mâles et la capacité à réaliser des migrations importantes.

Source : Wikipédia - Greta oto [Fr]

Chittorgarh (ou Chittor, Chittaur ou Chittaurgarh) est une ville et une municipalité du Rajasthan, dans l'ouest de l'Inde. Chef-lieu du District de Chittorgarh, elle se trouve sur les berges de la Berach, un sous-affluent de la Chambal. C'est une ancienne capitale du clan Sisodia des Rajputs du Mewar.

Farouchement indépendante, la ville possède le plus grand fort de l'Inde, le fort de Chittorgarh (280 hectares). Celui-ci a été assiégé trois fois par les conquérants musulmans (en 1303, 1535 et 1568) et chaque fois les défenseurs pratiquèrent le Jauhâr des femmes et des enfants.

Le fort et la Tour de la Victoire - (Cliquer sur l'image pour agrandir)

(Cliquer sur l'image pour agrandir)

Le réservoir du fort - (Cliquer sur l'image pour agrandir)

Source : Wikipédia - Chittorgarh [Fr]

Pour voir d'autre panorama d'Inde : Skyscrapercity.com

Le pitaya ou pitahaya (de l’amérindien taïno « fruit écailleux »), plus connu sous le nom de « fruit du dragon » (ou dragon fruit, strawberry pear en anglais), est le fruit de différentes espèces de cactus épiphytes, et plus particulièrement de celles de l’espèce Hylocereus undatus (anciennement H. triangularis).

Fleur

L’Hylocereus undatus, ou « raquette tortue » ou « Belle de nuit », est appelé en anglais night blooming cereus, c’est-à-dire « Cereus à floraison nocturne ». En effet, cette plante à rameaux triangulaires fleurit à la tombée de la nuit et la grosse fleur blanche à la douce odeur de vanille mesure près de 30 cm de diamètre mais ne tient généralement qu’une nuit. Cela a suffi pour faire de cette espèce une plante ornementale appréciée dans le monde entier.

Cette plante à fruits délicieux a de grandes feuilles :

• - blanches à taches roses pour Hylocereus undatus.
• - rouges à points roses pour Hylocereus undatus.
• - blanches à points jaunes pour Selenicereus megalanthus.

La fleur d'Hylocereus undatus

Fruit

Le pitaya mesure une dizaine de centimètres et pèse environ 350 grammes. Sa chair est comestible et ressemble par sa texture et la présence de petits pépins noirs à celle du kiwi, avec un goût cependant beaucoup plus doux.

Il existe trois sortes de fruits provenant d’autant d’espèces distinctes, tous comestibles, à basse teneur en calories et portant une peau épaisse à petites feuilles :

• - Hylocereus undatus, pulpe blanche et peau rose
• - Hylocereus polyrhizus, pulpe rouge et peau rose
• - Selenicereus megalanthus, pulpe blanche et peau jaune

Extérieur d’un pitaya Hylocereus undatus

Intérieur d’un pitaya Hylocereus undatus

Qualité nutritive

La médecine traditionnelle des Indiens d’Amérique centrale attribue au pitaya d’étonnantes vertus digestives.

En effet, la graisse naturelle que contiennent les graines lui donne un effet laxatif. 100 grammes de fruit ne contiennent qu’une cinquantaine de calories et le pitaya est riche en vitamines, minéraux, fibres, antioxydants et bêtacyanine (principalement la variété à chair rouge). Le pitahaya rouge (Hylocereus sp.), a une faible teneur en vitamine (de 116 à 171 mg par gramme de pulpe fraîche). Cependant la pulpe est riche en antioxydants comme la bêtacyanine (de 0,32 à 0,41 mg) et des composés phénoliques : son indice ORAC est de 8,8 à 11,3 (activité antioxydante par g exprimées en micromoles de Trolox équivalents).

Elle aide aussi à réduire le taux d’acide urique dans le sang et favorise ainsi la prévention de la goutte.

L’expérience de manger un pitaya est proche de celle du kiwi. On le mange cru. Les graines ont la taille des graines de sésame et sont disséminées dans la pulpe. Elles sont donc absorbées avec le fruit. On peut en faire du jus ou du vin ; la grosse fleur du pitaya est aussi comestible et on peut en faire du thé.

Production et consommation

Le pitaya a l’avantage de nécessiter de 5 à 10 fois moins d’eau que n’importe quelle autre culture fruitière, ce qui en fait un produit intéressant pour exploiter les zones arides.

En 2010, les principaux producteurs mondiaux de pitaya sont la Colombie et le Mexique.

Originaires du Mexique et s'étendant jusqu'à l'Amérique centrale, ces cactus aux allures de vignes vierges ont été importés au Viêt Nam par les colons français au début du XIX^e siècle. Initialement, les fruits y étaient réservés à la famille royale puis à la bourgeoisie locale. Ils devinrent ensuite le premier produit d’exportation du Viêt Nam et rivalisèrent en prix avec le fruit vedette d’Asie, le durian. Ils sont aujourd’hui cultivés et appréciés dans toute l’Asie du Sud Est (Malaisie, Taïwan) et la côte sud-est de la Chine. La version bonsaï du pitaya est courante sur les marchés à fleur de Taïwan.

Depuis quelques années, la production de pitaya se développe de plus en plus dans des pays tels que le Viêt Nam, Israël (sous serres car cette cactacée ne supporte pas le plein soleil), le Guatemala, l’Australie ou, en France, sur l’île de la Réunion et en Polynésie. La seule difficulté de la production de ce fruit réside dans la fécondation des fleurs qui, originellement, est faite par les papillons ou les chauves souris des forêts tropicales. On le multiplie généralement donc plutôt par bouture.

Encore pratiquement inconnu en France en 1995, le pitaya fait désormais partie intégrante de l’offre en fruits tropicaux des grandes surfaces. Les quantités de pitaya rouge importées dans l’UE ont plus que décuplé entre 1995 et 2000, mais restent cependant marginales, avec 200 tonnes en 2000.

Pitaya jaune à chair blanche Selenicereus megalanthus

Pitaya sanguin Hylocereus polyrhizus

Source : Wikipedia - Pitaya [Fr]

Voir aussi : Wikipédia - Durian [Fr]

Le canoë est parfois confondu avec le kayak (embarcation à pagaie double, traditionnelle des Eskimos), la pratique sportive ou de loisir avec des embarcations propulsées à la pagaie (simple ou double) étant désignée en français par l'expression « canoë-kayak ».

En français et dans d'autres langues, le terme « canoë » peut aussi être synonyme d'embarcation à pagaie simple ou bien synonyme de pirogue (embarcation primitive souvent constituée d'un tronc d'arbre creusé) sans lien historique avec l'embarcation d'origine amérindienne. La confusion provient certainement de l'origine du mot « canoë », dérivé de l'espagnol canoa, lui-même dérivé d'un mot indigène caribéen, et ces deux mots servant à désigner des pirogues ou des canots utilisant diverses techniques de construction mais le même mode de propulsion par pagaie simple, qui est commun à de nombreux types d'embarcations à travers le monde.

- Un kayak est un canot léger qui aujourd’hui utilise une pagaie à deux pales pour le propulser, le diriger et l’équilibrer. La construction et la pratique contemporaine distinguent notamment le kayak de rivière (eaux-vives) et le kayak de mer.

Le kayakiste est assis sur un siège bas au fond du bateau. Ses pieds reposent sur des cales fixes (en loisir) ou réglables, ou une barre communément appelée cale-pied ou "Barre à pied". Le kayakiste pagaie alternativement des 2 côtés, chassant l'eau vers l'arrière.

- Le canoë ou canoë canadien ou le canot (au Canada) est un type d'embarcation légère mue à la pagaie simple, dédiée à la navigation sur les rivières et les lacs. Construit à l'origine par les peuples nord-amérindiens, le canoë moderne est aujourd'hui utilisé dans diverses pratiques récréatives et sportives. Le pratiquant de canoë se nomme céiste, ou parfois canoéiste.

Le pagayeur est installé assis sur un siège, un pouf ou un barreau, les genoux au fond du bateau.

Donc Pocahontas faisait du canoë !

Sources :

Wikipédia - Kayak [Fr]

Wikipédia - Canoë [Fr]

Wikipédia - Canoë-kayak [Fr]